试题

题目：
青果学院（2011·日照）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是
如：x2-
5
x+1=0
如：x2-
5
x+1=0
．
答案
如：x2-
5
x+1=0

青果学院解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴
AC
DC
=
DC
BC
，
又∵正方形CDEF的边长为1，
∵AC·BC=DC2=1，
∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴OD=
1
2
5
，
∴AC+BC=AB=
5
，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2-
5
x+1=0．
故答案为：此题答案不唯一，如：x2-
5
x+1=0．
考点梳理
根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC·BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
开放型；数形结合．
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