试题

（2012·嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①

AG

AB

=

FG

FB

；
②点F是GE的中点；
③AF=

2

3

AB；
④S_△ABC=5S_△BDF，其中正确的结论序号是．

解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

CB，
∵tan∠BCD=

BD

BC

=

1

2

，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=

AG

AB

=

1

2

，
∵

AG

AB

=

FG

FB

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，
故③正确；
∵BD=

1

2

AB，AF=

1

3

AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故④错误．
故答案为：①③．