试题

题目：
青果学院（2012·十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=
5
5
．
答案
5

解：青果学院
过D作DK平行EF交CF于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，
∵AD∥BC，EF∥DK，
∴DEFK为平行四边形，
∴EF=DK，
∵EF⊥AC，
∴DK⊥AC，
∴∠DPC=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°，
∴∠CDK=∠ACB，
∵∠DCK=∠ABC=90°，
∴△CDK∽△BCA，
∴
CD
CK
=
BC
AB
，
即
2
CK
=
4
2
，
CK=1，
根据勾股定理得：EF=DK=
5
，
故答案为：
5
．
考点梳理
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
过D作DK平行EF交CF于K，得出平行四边形DEFK，推出EF=DK，证△DCK∽△CBA，求出CK，根据勾股定理求出DK即可．
本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出EO长，用的数学思想是方程思想．
计算题．
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