试题

题目：
青果学院（2013·南通）如图，在·ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4
2
cm，则EF+CF的长为
5
5
cm．
答案
5

青果学院解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6cm，
∴EC=9-6=3（cm），
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4
2
cm，
∴AG=
AB2-BG2
=2（cm），
∴AE=2AG=4cm；
∵EC∥AD，
∴
EF
AE+EF
=
EC
AD
=
FC
FC+CD
=
3
9
=
1
3
，
∴
EF
EF+4
=
1
3
，
FC
FC+6
=
1
3
，
解得：EF=2（cm），FC=3（cm），
∴EF+CF的长为5cm．
故答案为：5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
压轴题．
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