试题

题目:
青果学院(2013·南通)如图,在·ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4
2
cm,则EF+CF的长为
5
5
cm.
答案
5

青果学院解:∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE;
又∵AD∥BC,
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE,
∴AB=BE=6cm,
∴EC=9-6=3(cm),
∵BG⊥AE,垂足为G,
∴AE=2AG.
在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=6cm,BG=4
2
cm,
∴AG=
AB2-BG2
=2(cm),
∴AE=2AG=4cm;
∵EC∥AD,
EF
AE+EF
=
EC
AD
=
FC
FC+CD
=
3
9
=
1
3

EF
EF+4
=
1
3
FC
FC+6
=
1
3

解得:EF=2(cm),FC=3(cm),
∴EF+CF的长为5cm.
故答案为:5.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.
首先,由于AE平分∠BAD,那么∠BAE=∠DAE,由AD∥BC,可得内错角∠DAE=∠BEA,等量代换后可证得AB=BE,即△ABE是等腰三角形,根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG,而在Rt△ABG中,由勾股定理可求得AG的值,即可求得AE的长;然后,利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF,FC的长,即可得出答案.
本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查,难度适中.
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