试题

（2013·齐齐哈尔）正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=

5

，则线段EH的长为．

解：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，如下：
①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：
过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；
∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．
在△EMG与△FDG中，

∠EMG=∠FDG EM=DF ∠GEM=∠F

∴△EMG≌△FDG（ASA），
∴EG=FG，即G为EF的中点，
∴EF=2AG=2

5

．（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）

设BE=DF=x，则AE=3-x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3-x）²+（3+x）²=（2

5

）²，
解得x=1，即BE=DF=1，
∴AE=2，AF=4，
∴tan∠F=

1

2

．
设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF·tan∠F=

1

2

，
∴CK=CD-DK=

5

2

．
∵AB∥CD，∴

AH

CH

=

AE

CK

=

2

5 2

=

4

5

，
∵AC=AH+CH=3

2

，∴AH=

4

9

AC=

4

3

2

．
过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，∴AN=

2

2

AH=

4

3

．
∵HN∥AE，∴

EH

EF

=

AN

AF

，即

EH

2 5

=

4 3

4

，
∴EH=

2

3

5

；
②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如答图2所示：

同理可求得：EH=

4

3

5

．
综上所述，线段EH的长为

2

3

5

或

4

3

5

．
故答案为：

2

3

5

或

4

3

5

．