试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AC的长．
答案
青果学院解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴
AD
CD
=
CD
BD
，
∵CD=4，OD=3，
设⊙O半径为x，
则BD=OB-OD=x-3，AD=OA+OD=3+x，
∴
x+3
4
=
4
x-3
，
解得：x=5，
∴AD=8，
在Rt△ACD中，AC=
AD2+CD2
=4
5
．
青果学院解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴
AD
CD
=
CD
BD
，
∵CD=4，OD=3，
设⊙O半径为x，
则BD=OB-OD=x-3，AD=OA+OD=3+x，
∴
x+3
4
=
4
x-3
，
解得：x=5，
∴AD=8，
在Rt△ACD中，AC=
AD2+CD2
=4
5
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
首先连接BC，由AB是⊙O的直径，CD⊥AB，易证得△ADC∽△CDB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O的半径，继而求得AC的长．
此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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