数学
(2007·黄石)已知AB是半圆O的直径,AP为过点A的半圆的切线,在
AB
上任取一点C(点C与A,B不重合),过
点C作CD⊥AB于D,E是CD的中点,连接BE并延长交AP于点F,连接CF.
(1)当点C是
AB
的中点时(如图1),求证:直线CF是半圆O的切线;
(2)当点C不是
AB
的中点时(如图2),试猜想直线CF与半圆O的位置关系,并证明你的猜想.
(2007·黄冈)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为点B,点D是⊙O上的一点,且AD∥OC.求证:AD·BC=OB·BD.
(2007·桂林)如图,四边形ABCD是矩形,点E在BC边上,AE与BD交于点F,∠BAE=∠ADB.
(1)求证:△ABE∽△DAB;
(2)若AB=12,AD=16,以B为圆心的圆与AE相切,求⊙B的半径.
(2007·贵港)如图,在△ABC中,AC>BC,D是AC边上一点,连接BD.
(1)要使△CBD∽△CAB,还需要补充一个条件是
∠CBD=∠CAB
∠CBD=∠CAB
;(只要求填一个)
(2)若△CBD∽△CAB,且AD=2,BC=
3
,求CD的长.
(2007·广安)如图,半圆O的直径为AB,D是半圆上的一个动点(不与A、B重合),连接BD并延长至C,使C
D=BD,过点D作半圆O的切线交AC于E点.
(1)猜想DE与AC的位置关系,并说明理由;
(2)当AB=6,BD=2时,求DE的长.
(2006·遵义)如图,平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC的延长线于点E,交CD于点F,AB=5,BC=2,求CF的长.
(2006·余姚市)如图,AB为⊙O直径,过弦AC的点C作CF⊥AB于点D,交AE所在直线于点F.
(1)求证:AC
2
=AE·AF;
(2)当弦AC绕点A沿顺时针旋转(C、F不与A、B、E重合)时,请画出满足题意的其它的全部图形;
(3)猜想每个图形是否还有(1)中的结论,并就其中的一个图形证明你的猜想.
(2006·厦门)如图,点在⊙O的直径AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8.
(1)求证:△PTB∽△PAT;
(2)求证:PT为⊙O的切线;
(3)在
AT
上是否存在一点C,使得BT
2
=8TC?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
(2006·武汉)(北师大版)已知:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图1摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点.将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H.
(1)当α=30°时(如图2),求证:AG=DH;
(2)当α=60°时(如图3),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由.
(2006·威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N为同时从A点出发的两个动点,点M沿A·D·C·B的方向运动,速度为2cm/秒;点N沿A·B的方向运动,速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时,点M、N运动停止.设点
M、N的运动时间为x秒,以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm
2
.
(1)试求出当0<x<3时,y与x之间的函数关系式;
(2)试求出当4<x<7时,y与x之间的函数关系式;
(3)当3<x<4时,以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似?若相似,试求出x的值;若不相似,试说明理由.
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