试题

（2006·威海）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿A·D·C·B的方向运动，速度为2cm/秒；点N沿A·B的方向运动，速度为1cm/秒．当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止．设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm²．
（1）试求出当0＜x＜3时，y与x之间的函数关系式；
（2）试求出当4＜x＜7时，y与x之间的函数关系式；
（3）当3＜x＜4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值；若不相似，试说明理由．

解：（1）如图①，过D作DE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥AB，垂足为F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30·，∠A=60·
∴在△AMN中，AN=x，高为2x·sin60°=

3

x．
∴y=

1

2

·x·

3

x．即y=

3

2

x²．

（2）如图②，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵MG∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=

AD2-AE2

=3

3

，
∴GM：3

3

=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=

3

（7-x）．
∴y=

1

2

x

3

（7-x）．
即y=

7 3

2

x-

3

2

x²．

（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90·．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．
解：（1）如图①，过D作DE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥AB，垂足为F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30·，∠A=60·
∴在△AMN中，AN=x，高为2x·sin60°=

3

x．
∴y=

1

2

·x·

3

x．即y=

3

2

x²．

（2）如图②，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵MG∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=

AD2-AE2

=3

3

，
∴GM：3

3

=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=

3

（7-x）．
∴y=

1

2

x

3

（7-x）．
即y=

7 3

2

x-

3

2

x²．

（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90·．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．