试题

（2007·广安）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与A、B重合），连接BD并延长至C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于E点．
（1）猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．

解：（1）DE⊥AC，
理由：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴DE⊥AC．

（2）连接AD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°又BD=DC=2．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽Rt△DCE．
∴DE·AB=AD·DC．
在Rt△ABD中，
AB=6，BD=2，
∴AD=

36-4

=4

2

．
∴DE=

AD·CD

AB

=

4

3

2

．
解：（1）DE⊥AC，
理由：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴DE⊥AC．

（2）连接AD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°又BD=DC=2．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽Rt△DCE．
∴DE·AB=AD·DC．
在Rt△ABD中，
AB=6，BD=2，
∴AD=

36-4

=4

2

．
∴DE=

AD·CD

AB

=

4

3

2

．