试题

题目：
青果学院（2007·贵港）如图，在△ABC中，AC＞BC，D是AC边上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是
∠CBD=∠CAB
∠CBD=∠CAB
；（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD=2，BC=
3
，求CD的长．
答案
∠CBD=∠CAB

解：（1）添加∠CBD=∠A．
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB．
（或∠CDB=∠CBA或
CD
BC
=
BC
AC
，或
CD
BC
=
BC
AC
=
BD
AB
等）

（2）设CD=x，则CA=x+2，
若△CBD∽△CAB，且AD=2，BC=
3
，则
CD
BC
=
BC
AC
，
即
x
3
=
3
x+2
，
∴x2+2x-3=0，
∴x1=1，x2=-3，
经检验，x1=1，x2=-3都是原方程的解，但x2=-3不符合题意，应舍去，
∴CD=1．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的应用．
根据相似三角形的判定方法及已知可得到需要补充的条件，根据相似三角形的性质不难求得CD的长．
此题利用了相似三角形的判定和性质，还用到了一元二次方程的内容．
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