数学

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已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为-1，3，与y轴交点的纵坐标为-

．
（1）求抛物线的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中作出其大致图象；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小；
（3）抛物线上存在点P，使得点P到y轴距离为2，请直接写出点P的坐标．

已知抛物线与x轴相交于两点A（1，0），B（-3，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）如果点D(

，m)是抛物线上的一点，求△ABD的面积．

已知抛物线y=（k-1）x²+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点．
（1）若点（1，5）在此抛物线上，求此抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，直接写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若此抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．

已知二次函数y=a（x-2）²-a（x-2）（a为常数，且a≠0．）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积等于2时，求a的值．

（1）用因式分解法解方程：x（x+1）=2（x+1）．
（2）已知二次函数的解析式为y=x²-4x-5，请你判断此二次函数的图象与x轴交点的个数；并指出当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．

（2010·西城区一模）已知：关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；
（2）若二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称；
①求二次函数y₁的解析式；
②已知一次函数y₂=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

（2010·河东区一模）已知二次函数y=ax²+bx+c．
①若b=2a+

c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．
③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁·y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

（2010·大港区一模）已知：抛物线y=x²-（2a+1）x+2a
（Ⅰ）当抛物线经过点（3，2）时，①求x的值；②求抛物线与x轴交点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两旁，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线不经过第三象限，且当x＞2时，函数值x随x的增大而增大，求实数a的取值范围．

（2009·吉安二模）如图，一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁，x₂是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点A、B的

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横坐标，此抛物线与y轴的正半轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标，并写出抛物线的对称轴；
（2）设点B关于点A的对称点为B′．问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件c的值；若不存在，请直接作否定的判断，不必说明理由．

（2009·海淀区一模）已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式

的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

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