试题

（2009·吉安二模）如图，一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁，x₂是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标，此抛物线与y轴的正半轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标，并写出抛物线的对称轴；
（2）设点B关于点A的对称点为B′．问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件c的值；若不存在，请直接作否定的判断，不必说明理由．

解：（1）∵解一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
抛物线的对称轴x=1；

（2）由已知得B′（-5，0），C（0，c）且C为y轴上的点，B′O＞BO，则不可能有
CB′=CB的情形；
若BB′=BC，则有8=

32+c2

，则c=

55

或-

55

（舍去），∴c=

55

；
若BB′=B′C，则有8=

52+c2

，则c=

39

或-

39

（舍去），∴c=

39

，
∴存在满足上述条件的点．
解：（1）∵解一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
抛物线的对称轴x=1；

（2）由已知得B′（-5，0），C（0，c）且C为y轴上的点，B′O＞BO，则不可能有
CB′=CB的情形；
若BB′=BC，则有8=

32+c2

，则c=

55

或-

55

（舍去），∴c=

55

；
若BB′=B′C，则有8=

52+c2

，则c=

39

或-

39

（舍去），∴c=

39

，
∴存在满足上述条件的点．