试题

（2010·河东区一模）已知二次函数y=ax²+bx+c．
①若b=2a+

1

2

c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．
③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁·y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

（1）解：由b=2a+

1

2

c，可得4a-2b+c=0，
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴函数图象一定经过点（-2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax²+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．
∴顶点纵坐标

-b2

4a

≤1，
∴-b²≥4a，
∴4a+b²≤0；

（3）解：由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由题意，y₁·y₂=c·（a+b+c）＞0，
即6c·（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）·（4a+3b）＞0，（2a+3b）·（4a+3b）＜0，
两边同除以9a²，
∵9a²＞0，
∴(

b

a

+

2

3

)·(

b

a

+

4

3

)＜0，
∴

b a + 2 3 ＜0 b a + 4 3 ＞0

或

b a + 2 3 ＞0 b a + 4 3 ＜0

∴-

4

3

＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

1

3

＜-

b

2a

＜

2

3

，即为所求．
（1）解：由b=2a+

1

2

c，可得4a-2b+c=0，
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴函数图象一定经过点（-2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax²+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．
∴顶点纵坐标

-b2

4a

≤1，
∴-b²≥4a，
∴4a+b²≤0；

（3）解：由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由题意，y₁·y₂=c·（a+b+c）＞0，
即6c·（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）·（4a+3b）＞0，（2a+3b）·（4a+3b）＜0，
两边同除以9a²，
∵9a²＞0，
∴(

b

a

+

2

3

)·(

b

a

+

4

3

)＜0，
∴

b a + 2 3 ＜0 b a + 4 3 ＞0

或

b a + 2 3 ＞0 b a + 4 3 ＜0

∴-

4

3

＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

1

3

＜-

b

2a

＜

2

3

，即为所求．