试题

题目:
(2008·高淳县二模)阅读下列材料,然后解答后面的问题:
我们知道二元一次方程组
2x+3y=12
3x-3y=6
的求解方法是消元法,即可将它化为一元一次方程来解,可求得方程组
2x+3y=12
3x-3y=6
有唯一解.
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个,而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解.
下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程:
由2x+3y=12得:y=
12-2x
3
=4-
2
3
x

∵x、y为正整数,∴
x>0
12-2x>0
则有0<x<6
又y=4-
2
3
x
为正整数,则
2
3
x
为正整数,所以x为3的倍数
又因为0<x<6,从而x=3,代入:y=4-
2
3
×3
=2
∴2x+3y=12的正整数解为
x=3
y=2

问题:(1)若 
6
x-2
为正整数,则满足条件的x的值有几个.(  )
A、2    B、3    C、4   D、5
      (2)九年级某班为了奖励学习进步的学生,花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品,其中笔记本的单价为3元/本,钢笔单价为5元/支,问有几种购买方案?
      (3)试求方程组
2x+y+z=10
3x+y-z=12
 的正整数解.
答案
解:(1)∵
6
x-2
为正整数,即可得出x-2>0,
且x-2=1,或2,或3或6,
∴满足条件的x的值有4个.
故选C;

(2)设购买了笔记本x本,钢笔y支,
根据题意得出:3x+5y=35,
由题意可得:3x+5y=35,得y=
35-3x
5
=7-
3
5
x,
∵x,y为正整数,
x>0
7-
3
5
x>0

则有:0<x<
35
3

又y=7-
3
5
x,为正整数,则
3
5
x为正整数,
∴x为5的倍数,又∵0<x<
35
3
,从而得出x=5或10,代入:y=4或1,
∴有两种购买方案:
购买的笔记本5本,钢笔4支,
购买的笔记本10本,钢笔1支;

(3)两式相加消去z得5x+2y=22,
由上题方法可得:
x=2
y=6
x=4
y=1

x=2
y=6
代入方程2x+y+z=10得出z=0(不合题意舍去)
x=4
y=1
,代入方程2x+y+z=10得出z=1,
∴原方程组的解集为:
x=4
y=1
z=1

解:(1)∵
6
x-2
为正整数,即可得出x-2>0,
且x-2=1,或2,或3或6,
∴满足条件的x的值有4个.
故选C;

(2)设购买了笔记本x本,钢笔y支,
根据题意得出:3x+5y=35,
由题意可得:3x+5y=35,得y=
35-3x
5
=7-
3
5
x,
∵x,y为正整数,
x>0
7-
3
5
x>0

则有:0<x<
35
3

又y=7-
3
5
x,为正整数,则
3
5
x为正整数,
∴x为5的倍数,又∵0<x<
35
3
,从而得出x=5或10,代入:y=4或1,
∴有两种购买方案:
购买的笔记本5本,钢笔4支,
购买的笔记本10本,钢笔1支;

(3)两式相加消去z得5x+2y=22,
由上题方法可得:
x=2
y=6
x=4
y=1

x=2
y=6
代入方程2x+y+z=10得出z=0(不合题意舍去)
x=4
y=1
,代入方程2x+y+z=10得出z=1,
∴原方程组的解集为:
x=4
y=1
z=1
考点梳理
二元一次方程的应用.
(1)根据
6
x-2
为正整数,即可得出x-2>0,进而求出符合要求的答案;
(2)根据3x+5y=35,得y=
35-3x
5
=7-
3
5
x,进而分析得出即可;
(3)利用(2)中计算方法,得出x,y的取值,进而求出即可.
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法,正确利用已知正整数解这一条件是解题关键.
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