试题

（2001·杭州）（1）若方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，求证：p+q＜

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；
（2）试写出上述命题的逆命题；
（3）判断（2）中的逆命题是否正确．若正确请加以证明，若不正确，请举一反例说明．

（1）证明：∵方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，
∴y=x²+2px-q的函数值恒大于0，
所以当x=-

1

2

时，y=x²+2px-q＞0，即

1

4

-p-q＞0，
所以p+q＜

1

4

．
（2）（1）的逆命题为：若p+q＜

1

4

（p，q是实数），求证：方程x²+2px-q=0没有实数根．
（3）（2）中的逆命题不正确．
如：当p=q=0，满足p+q＜

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，但原方程为x²=0有两个相等的实数根，所以（2）中的逆命题不正确．
（1）证明：∵方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，
∴y=x²+2px-q的函数值恒大于0，
所以当x=-

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时，y=x²+2px-q＞0，即

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-p-q＞0，
所以p+q＜

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．
（2）（1）的逆命题为：若p+q＜

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（p，q是实数），求证：方程x²+2px-q=0没有实数根．
（3）（2）中的逆命题不正确．
如：当p=q=0，满足p+q＜

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，但原方程为x²=0有两个相等的实数根，所以（2）中的逆命题不正确．