试题
题目:
(2001·杭州)(1)若方程x
2
+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,求证:
p+q<
1
4
;
(2)试写出上述命题的逆命题;
(3)判断(2)中的逆命题是否正确.若正确请加以证明,若不正确,请举一反例说明.
答案
(1)证明:∵方程x
2
+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,
∴y=x
2
+2px-q的函数值恒大于0,
所以当x=-
1
2
时,y=x
2
+2px-q>0,即
1
4
-p-q>0,
所以
p+q<
1
4
.
(2)(1)的逆命题为:若
p+q<
1
4
(p,q是实数),求证:方程x
2
+2px-q=0没有实数根.
(3)(2)中的逆命题不正确.
如:当p=q=0,满足
p+q<
1
4
,但原方程为x
2
=0有两个相等的实数根,所以(2)中的逆命题不正确.
(1)证明:∵方程x
2
+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,
∴y=x
2
+2px-q的函数值恒大于0,
所以当x=-
1
2
时,y=x
2
+2px-q>0,即
1
4
-p-q>0,
所以
p+q<
1
4
.
(2)(1)的逆命题为:若
p+q<
1
4
(p,q是实数),求证:方程x
2
+2px-q=0没有实数根.
(3)(2)中的逆命题不正确.
如:当p=q=0,满足
p+q<
1
4
,但原方程为x
2
=0有两个相等的实数根,所以(2)中的逆命题不正确.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式;命题与定理.
(1)方程x
2
+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,把它理解为y=x
2
+2px-q的函数值恒大于0,则当x=-
1
2
时,y=x
2
+2px-q>0,即
1
4
-p-q>0,即可证明;
(2)交换题设与结论,写出逆命题;
(3)通过设p=q=0,说明(2)中的逆命题不正确.
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)与二次函数的关系,也考查了逆命题与原命题的关系和通过举反例说明问题的方法.
证明题.
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