试题

题目:
(1)如图1,矩形ABCD中,AB:BC=2:3,点E、F分别在边AD和CD上,且AF⊥BE于O,求
AF
BE
的值;
(2)在上面的问题中,若
AF
BE
=k,通过变式,我们可以得到如下的两个命题:
①若将AF沿直线AB方向平移到PQ,将BE沿直线AD方向平移到RS,然后将PQ与RS同时绕点O旋转(保持PQ与RS垂直),则
PQ
RS
=k;
②设P、R、Q、S依次是矩形的边AB、BC、CD、DA上的点,若=k,则PQ⊥RS.青果学院
(Ⅰ)判断命题的真假性:①
真命题
真命题
;②
假命题
假命题
;(在横线上填“真命题”或“假命题”)
(Ⅱ)若其中有假命题,请你在图3中,用画图的方法举反例进行说明;若以上两个命题都是真命题,请选择其中一个给予证明.
答案
真命题

假命题

解:(1)如图1,∵AF⊥BE
∴△ABE∽△DAF
AF
BE
=
AD
AB
=
3
2
青果学院

(2)(Ⅰ)①是真命题;②是假命题;
(Ⅱ)①的证明:
如图2,作PF⊥CD于点F,作RE⊥AD于点E,当PQ⊥SR时,
可得△RES∽△PFQ,
PQ
RS
=
PF
RE
=
BC
AB
=
3
2

②的反例:
如图3,作SR′=SR,图中
PQ
SR′
=
PQ
SR
=
3
2

但PQ与SR′不垂直.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;矩形的性质;命题与定理.
(1)证明△ABE∽△DAF,即可得
AF
BE
的值;
(2)(Ⅰ)①是真命题;②是假命题;
(Ⅱ)①的证明:作PF⊥CD于点F,作RE⊥AD于点E,当PQ⊥SR时,可得△RES∽△PFQ,即可知
PQ
RS
的值;
②的反例:作SR′=SR,图中
PQ
SR′
=
PQ
SR
=
3
2
,但PQ与SR′不垂直.
本题考查了相似三角形的判断和性质以及命题的判断及证明.
计算题.
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