试题

说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
（1）如果a、b都是无理数，那么ab也是无理数；
（2）等腰三角形两腰上的高相等．

解：（1）逆命题为：如果ab是无理数，那么a、b都是无理数．
此逆命题为假命题．例如：如果ab=2

3

，那么a=2，b=

3

．
（2）逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．
此逆命题是真命题．证明如下：
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，
求证：AB=AC．
证明：∵S_△ABC=

1

2

AB·CF=

1

2

AC·BE，
而BE=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
解：（1）逆命题为：如果ab是无理数，那么a、b都是无理数．
此逆命题为假命题．例如：如果ab=2

3

，那么a=2，b=

3

．
（2）逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．
此逆命题是真命题．证明如下：
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，
求证：AB=AC．
证明：∵S_△ABC=

1

2

AB·CF=

1

2

AC·BE，
而BE=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．