试题

（2003·大连）已知：如图1，给出下列6个论断，①AB是⊙O₁的直径；②EC是⊙O₁的切线；③AC是⊙O₂的直径；④BC·EC=DE·BD；⑤DE∥BC；⑥DE·BC=2CE²．
（1）将6个论断中的3个作为题设，2个论断作为结论，写出一个真命题，并加以证明；
（2）如果AB不是⊙O₂直径（如图2），你能否再从其余5个论断中选取一个论断作为题设，一个论断作为结论，使其成为真命题（不要求证明）？若能，请写出两个；若不能，请你再添加一个条件，写出两个真命题．

解：连接AE，
∵AC为⊙O直径
∴∠AEC=∠ADC=90°
∴△AEC≌△ADC
∴CD=CE，EF=DF=

1

2

ED；
（1）∵EC为⊙O₁切线
∴∠ECA=∠ABC
∵∠EDA+∠CAD=90°，∠ABC+∠CAD=90°
∴∠EDA=∠ABC
∴ED∥BC
故⑤DE∥BC成立
∵△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE·BC=2CE²
故⑥DE·BC=2CE²，成立；

（2）能，
（Ⅰ）②EC是⊙O₁的切线作条件，⑤DE∥BC作结论，
证明：
∵EC是⊙O₁的切线
∴∠ECA=∠CBA
∵同弧所对的圆周角相等
∴∠ECA=∠ADE
∴∠CBA=∠ADE
∴DE∥BC；
（Ⅱ）①AB是⊙O₁的直径作为条件，⑥DE·BC=2CE²作为结论，
∵AC为⊙O₂直径
∴△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE·BC=2CE²．
解：连接AE，
∵AC为⊙O直径
∴∠AEC=∠ADC=90°
∴△AEC≌△ADC
∴CD=CE，EF=DF=

1

2

ED；
（1）∵EC为⊙O₁切线
∴∠ECA=∠ABC
∵∠EDA+∠CAD=90°，∠ABC+∠CAD=90°
∴∠EDA=∠ABC
∴ED∥BC
故⑤DE∥BC成立
∵△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE·BC=2CE²
故⑥DE·BC=2CE²，成立；

（2）能，
（Ⅰ）②EC是⊙O₁的切线作条件，⑤DE∥BC作结论，
证明：
∵EC是⊙O₁的切线
∴∠ECA=∠CBA
∵同弧所对的圆周角相等
∴∠ECA=∠ADE
∴∠CBA=∠ADE
∴DE∥BC；
（Ⅱ）①AB是⊙O₁的直径作为条件，⑥DE·BC=2CE²作为结论，
∵AC为⊙O₂直径
∴△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE·BC=2CE²．