试题

（2003·金华）如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

，求

S△BPQ

S△ABC

的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴

4x

20

=

30-3x

30

∴x=

10

3

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了

10

3

秒，AP=

40

3

cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为

2

3

，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=

5

9

S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=

1

3

S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═

5

9

S_△ABC-

1

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=

2

9

（3）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有

3x

4x

=

20

30-3x

解得x=

10

9

，
经检验，x=

10

9

是原分式方程的解．
此时AP=

40

9

cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有

3x

30-3x

=

20

4x

解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴

4x

20

=

30-3x

30

∴x=

10

3

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了

10

3

秒，AP=

40

3

cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为

2

3

，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=

5

9

S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=

1

3

S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═

5

9

S_△ABC-

1

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=

2

9

（3）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有

3x

4x

=

20

30-3x

解得x=

10

9

，
经检验，x=

10

9

是原分式方程的解．
此时AP=

40

9

cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有

3x

30-3x

=

20

4x

解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．