试题

（2001·天津）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB=CE．
求证：（1）BE∥DG；
（2）CB²-CF²=BF·FE．

证明：（1）∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE．
∵CG为⊙O切线，
∴∠BCD=∠E．
∴∠CBE=∠BCD．
∴BE∥DG．

（2）∵∠A=∠E，
∴∠A=∠CBE．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，

CB

CF

=

AC

CB

．
∴CB²=CF·AC=CF·（CF+AF）=CF²+CF·AF．
即CB²-CF²=AF·CF．
由相交弦定理，得AF·CF=BF·FE．
∴CB²-CF²=BF·FE．
证明：（1）∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE．
∵CG为⊙O切线，
∴∠BCD=∠E．
∴∠CBE=∠BCD．
∴BE∥DG．

（2）∵∠A=∠E，
∴∠A=∠CBE．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，

CB

CF

=

AC

CB

．
∴CB²=CF·AC=CF·（CF+AF）=CF²+CF·AF．
即CB²-CF²=AF·CF．
由相交弦定理，得AF·CF=BF·FE．
∴CB²-CF²=BF·FE．