试题

题目：
（2002·常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB·CD=AD·PC，
求证：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP．
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答案
证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB·CD=AD·PC，
∴
AB
PC
=
AD
CD
．
∴△ABD∽△CPD．

（2）由（1）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB·CD=AD·PC，
∴
AB
PC
=
AD
CD
．
∴△ABD∽△CPD．

（2）由（1）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
考点梳理
圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）已知AB·CD=AD·PC，即
AB
PC
=
AD
CD
，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得；
（2）在（1）的基础上，可求得∠ABD=∠P；根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；内错角相等，可证得两直线平行．
本题主要考查了圆内接四边形的性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．
证明题．
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