试题

题目:
青果学院(2002·天津)如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E.若AB=CD=2,求CE的长.
答案
青果学院解:如图,由切割线定理,得
CD2=CB·CA,(2分)
CD2=CB(AB+CB),
CB2+2CB-4=0,
解得CB=
5
-1
(负数舍去)
连接OD,则OD⊥CD,又EB与⊙O相切,
∴EB⊥OC,
∴Rt△ODC∽Rt△EBC,(6分)
于是
CE
OC
=
BC
CD
,即
CE
5
=
5
-1
2

∴CE=
5-
5
2

青果学院解:如图,由切割线定理,得
CD2=CB·CA,(2分)
CD2=CB(AB+CB),
CB2+2CB-4=0,
解得CB=
5
-1
(负数舍去)
连接OD,则OD⊥CD,又EB与⊙O相切,
∴EB⊥OC,
∴Rt△ODC∽Rt△EBC,(6分)
于是
CE
OC
=
BC
CD
,即
CE
5
=
5
-1
2

∴CE=
5-
5
2
考点梳理
切割线定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
利用切割线定理,可求BC(负值不合题意,舍去),再连接BE、OD,容易证出△EBC∽△ODC,那么就有
CE:OC=BC:CD①,由于OC=BC+OB=
5
,把数值代入①式即可求CE.
本题考查了切割线定理、解一元二次方程、相似三角形的判定和性质、切线性质等知识.
几何综合题.
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