试题

题目：
青果学院（2002·天津）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB=CD=2，求CE的长．
答案
青果学院解：如图，由切割线定理，得
CD2=CB·CA，（2分）
CD2=CB（AB+CB），
CB2+2CB-4=0，
解得CB=
5
-1（负数舍去）
连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，
∴EB⊥OC，
∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）
于是
CE
OC
=
BC
CD
，即
CE
5
=
5
-1
2

∴CE=
5-
5
2
．
青果学院解：如图，由切割线定理，得
CD2=CB·CA，（2分）
CD2=CB（AB+CB），
CB2+2CB-4=0，
解得CB=
5
-1（负数舍去）
连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，
∴EB⊥OC，
∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）
于是
CE
OC
=
BC
CD
，即
CE
5
=
5
-1
2

∴CE=
5-
5
2
．
考点梳理
切割线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
利用切割线定理，可求BC（负值不合题意，舍去），再连接BE、OD，容易证出△EBC∽△ODC，那么就有
CE：OC=BC：CD①，由于OC=BC+OB=
5
，把数值代入①式即可求CE．
本题考查了切割线定理、解一元二次方程、相似三角形的判定和性质、切线性质等知识．
几何综合题．
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