试题

（2002·天津）已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB=EC=ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC²=4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．

（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED=EB，∠DEO=∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE=EC，
∴EB=EC=ED．（4分）

（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，
∴∠C=∠CDE，
∴∠DEC=180°-2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°-2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE²=DF·DC．
即（

1

2

BC）²=DF·DC
∴BC²=4DF·DC．（6分）
②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC²=4DE²=4DF·DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）
（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED=EB，∠DEO=∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE=EC，
∴EB=EC=ED．（4分）

（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，
∴∠C=∠CDE，
∴∠DEC=180°-2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°-2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE²=DF·DC．
即（

1

2

BC）²=DF·DC
∴BC²=4DF·DC．（6分）
②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC²=4DE²=4DF·DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）