试题

（2000·重庆）已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC²=AE·AB，为什么？
（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连接PB．如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由．
（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

解：（1）能找到一点E，使AC²=AE·AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；

（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．

∵AC²=AE·AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根据（2）可以得到PB²=PC·PD．
而E是PD的中点，可以得到PE=DE．
∴PE²=（PE-CE）×2PE=2PE²-2PE·CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中点．
解：（1）能找到一点E，使AC²=AE·AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；

（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．

∵AC²=AE·AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根据（2）可以得到PB²=PC·PD．
而E是PD的中点，可以得到PE=DE．
∴PE²=（PE-CE）×2PE=2PE²-2PE·CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中点．