试题

（2001·东城区）已知：如图，AB是半圆O的直径，C为AB上一点，AC为半圆O′的直径，BD切半圆O′于点D，CE⊥AB交半圆O于点F．
（1）求证：BD=BE；
（2）若两圆半径的比为3：2，试判断∠EBD是直角、锐角还是钝角？并给出证明．

证明：（1）连接DO′，
∵BD切半圆O′于点D，
∴∠O'DB=90°，
∴△BDO′是直角三角形，
设大圆半径R小圆半径r，
则BD²=O′B²-DO′²
即为BD²=（2R-r）²-r²，
整理得：BD²=4R²-4Rr
∵CE垂直AB，可用射影定理得EB²=AB·BC，
代入数值得：BE²=（2R-2r）×2R，
整理得：BE²=4R²-4Rr，
∴BD²=BE²，
∵BD＞0，BE＞0，
∴BD=BE；

（2）∠EBD是锐角，
∵两圆半径的比为3：2，
∴AB：AC=3：2．
设AB=3k，则AC=2k，
∴BC=AB-AC=k，
∴O′B=O′C+BC=2k，
在R t△O′DB中，
 sin∠O′BD=

1

3

，
∵sin30°=

1

2

∴∠O′BD＜30°，
∵CE²=AC·BC=2k·k，
进而求得EC=

2

k．
在Rt△ECB中，
 tan∠EBC=

EC

BC

=

2

，
∵tan60°=

3

，
∴∠EBC＜60°．
∴∠EBD=∠EBC+∠O′BD＜60°+30°=90°．
∴∠EBD是锐角．
证明：（1）连接DO′，
∵BD切半圆O′于点D，
∴∠O'DB=90°，
∴△BDO′是直角三角形，
设大圆半径R小圆半径r，
则BD²=O′B²-DO′²
即为BD²=（2R-r）²-r²，
整理得：BD²=4R²-4Rr
∵CE垂直AB，可用射影定理得EB²=AB·BC，
代入数值得：BE²=（2R-2r）×2R，
整理得：BE²=4R²-4Rr，
∴BD²=BE²，
∵BD＞0，BE＞0，
∴BD=BE；

（2）∠EBD是锐角，
∵两圆半径的比为3：2，
∴AB：AC=3：2．
设AB=3k，则AC=2k，
∴BC=AB-AC=k，
∴O′B=O′C+BC=2k，
在R t△O′DB中，
 sin∠O′BD=

1

3

，
∵sin30°=

1

2

∴∠O′BD＜30°，
∵CE²=AC·BC=2k·k，
进而求得EC=

2

k．
在Rt△ECB中，
 tan∠EBC=

EC

BC

=

2

，
∵tan60°=

3

，
∴∠EBC＜60°．
∴∠EBD=∠EBC+∠O′BD＜60°+30°=90°．
∴∠EBD是锐角．