试题

（2003·泉州）如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F．设EF交AD于G，连接DF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）已知：DF=2，AG=3，求

AE

EB

的值．

（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴∠4=∠2，
又∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴EF∥BC；

（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠5，
∴△ADF∽△FDG，
∴

AD

FD

=

FD

GD

，
设GD=x，则

3+x

2

=

2

x

，
解得x₁=1，x₂=-4，经检验x₁=1，x₂=-4为所列方程的根，
∵x₂=-4＜0应舍去，
∴GD=1由（1）已证EF∥BC，
∴

AE

EB

=

AG

GD

=

3

1

=3．
（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴∠4=∠2，
又∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴EF∥BC；

（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠5，
∴△ADF∽△FDG，
∴

AD

FD

=

FD

GD

，
设GD=x，则

3+x

2

=

2

x

，
解得x₁=1，x₂=-4，经检验x₁=1，x₂=-4为所列方程的根，
∵x₂=-4＜0应舍去，
∴GD=1由（1）已证EF∥BC，
∴

AE

EB

=

AG

GD

=

3

1

=3．