试题

（2003·绍兴）如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；
（2）求证：PD·PO=PC·PB；
（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长．

（1）解：相等．理由如下：
连接AO，
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP=90°
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOP=2∠B=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠B=∠APO，
∴AB=AP．

（2）证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，
∴PA²=PD·PO
∵PA是半圆的切线，
∴PA²=PC·PB，
∴PD·PO=PC·PB．

（3）解：∵BD：DC=4：1，且BC=10，
∴BD=8，CD=2，
∴OD=3
∵OA²=OD·OP，
∴25=3×OP，
∴OP=

25

3

，
∴PC=

25

3

-5=

10

3

．
（1）解：相等．理由如下：
连接AO，
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP=90°
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOP=2∠B=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠B=∠APO，
∴AB=AP．

（2）证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，
∴PA²=PD·PO
∵PA是半圆的切线，
∴PA²=PC·PB，
∴PD·PO=PC·PB．

（3）解：∵BD：DC=4：1，且BC=10，
∴BD=8，CD=2，
∴OD=3
∵OA²=OD·OP，
∴25=3×OP，
∴OP=

25

3

，
∴PC=

25

3

-5=

10

3

．