试题

题目：
青果学院（2003·台州）如图PA是△ABC的外接圆O的切线，A是切点，PD∥AC，且PD与AB、AC分别相交于E、D．
求证：（1）∠PAE=∠BDE；
（2）EA·EB=ED·EP．
答案
青果学院证明：如右图所示，
（1）∵AP是切线，
∴∠PAE=∠ACB，
又∵PD∥AC，
∴∠PDB=∠BDE，
∴∠PAE=∠BDE；

（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，
又∵∠AEP=∠DEB，
∴△AEP∽△DEB，
∴AE：PE=DE：BE，
∴EA·EB=ED·EP．
青果学院证明：如右图所示，
（1）∵AP是切线，
∴∠PAE=∠ACB，
又∵PD∥AC，
∴∠PDB=∠BDE，
∴∠PAE=∠BDE；

（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，
又∵∠AEP=∠DEB，
∴△AEP∽△DEB，
∴AE：PE=DE：BE，
∴EA·EB=ED·EP．
考点梳理
切线的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由于AP是切线，那么∠PAE=∠ACB，而PD∥AC，于是有∠PDB=∠BDE，那么∠PAE=∠BDE；
（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，又∠AEP=∠DEB，从而可得△AEP∽△DEB，于是有AE：PE=DE：BE，易得证．
本题考查了切线的性质、平行线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是利用弦切角定理知道∠PAE=∠ACB．
证明题．
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