试题

（2003·温州）如图1，点A在⊙O外，射线AO交⊙O于F，C两点，点H在⊙O上，

FH

=2

GH

，D是

FH

上的一个动点（不运动至F，H），BD是⊙O的直径，连接AB，交⊙O于点C，CD交0F于点E．且AO=BD=2．
（1）设AC=x，AB=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当AD与⊙O相切时（如图2），求tanB的值；
（3）当DE=DO时（如图3），求EF的长．

解：（1）∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1，AG=AO+OG=2+1=3
由切割线定理的推论得AC·AB=AF·AG，
∴xy=1×3
∴y=

3

x

，自变量x的取值范围是1＜x＜

3

；

（2）∵AD与⊙O相切，
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=

AO2-OD2

=

22-12

=

3

∴tanB=

AD

BD

=

3

2

；

（3）过点D作DM⊥EO于M，
∵BD是直径
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴

AE

DE

=

CE

ME

∴AE·ME=DE·CE
由相交弦定理，得EF·EG=DE·CE
∴AE·ME=EF·EG
设EF=t，则AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=

1

2

EO=

1

2

（OF-EF）=

1-t

2

∴（1+t）·

1-t

2

=t·（2-t）
化简，得t²-4t+1=0
∴t₁=2-

3

，t₂=2+

3

（不合题意，舍去）
即EF=2-

3

．
解：（1）∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1，AG=AO+OG=2+1=3
由切割线定理的推论得AC·AB=AF·AG，
∴xy=1×3
∴y=

3

x

，自变量x的取值范围是1＜x＜

3

；

（2）∵AD与⊙O相切，
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=

AO2-OD2

=

22-12

=

3

∴tanB=

AD

BD

=

3

2

；

（3）过点D作DM⊥EO于M，
∵BD是直径
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴

AE

DE

=

CE

ME

∴AE·ME=DE·CE
由相交弦定理，得EF·EG=DE·CE
∴AE·ME=EF·EG
设EF=t，则AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=

1

2

EO=

1

2

（OF-EF）=

1-t

2

∴（1+t）·

1-t

2

=t·（2-t）
化简，得t²-4t+1=0
∴t₁=2-

3

，t₂=2+

3

（不合题意，舍去）
即EF=2-

3

．