试题

题目：
（2003·无锡）已知：如图，△ABC内接于⊙O1，以AC为直径的⊙O2交BC于点D，AE切⊙O1于点A，交⊙O2于青果学院点E，连接AD、CE，若AC=7，AD=3
5
，tanB=
5
2
．
求：（1）BC的长；
（2）CE的长．
答案
解：（1）∵AC是⊙O2的直径
∴∠ADC=90°
又∵AC=7，AD=3
5

∴DC=
AC2-AD2
=2
在Rt△ADB中
tanB=
AD
BD
=
5
2

∴BD=6
∴BC=BD+DC=8；

（2）∵AC是⊙O2的直径
∴∠E=90°
∴∠AEC=∠BDA=90°
∵AE是⊙O1的切线
∴∠EAC=∠B
∴Rt△AEC∽Rt△BDA
∴
CE
AD
=
AC
AB

∵在Rt△ADB中
AB=
AD2+BD2
=9
∴CE=
AC·AD
AB
=
7
5
3
．
解：（1）∵AC是⊙O2的直径
∴∠ADC=90°
又∵AC=7，AD=3
5

∴DC=
AC2-AD2
=2
在Rt△ADB中
tanB=
AD
BD
=
5
2

∴BD=6
∴BC=BD+DC=8；

（2）∵AC是⊙O2的直径
∴∠E=90°
∴∠AEC=∠BDA=90°
∵AE是⊙O1的切线
∴∠EAC=∠B
∴Rt△AEC∽Rt△BDA
∴
CE
AD
=
AC
AB

∵在Rt△ADB中
AB=
AD2+BD2
=9
∴CE=
AC·AD
AB
=
7
5
3
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由AC是直径，可知∠ADC=90°，那么∠ADB=90°，又∠B的正切值等于
AD
BD
，根据已知条件，可先求出BD，在△ADC中，利用勾股定理可求出CD，那么BC就求出来了；
（2）A由AE是⊙O1的切线，可得弦切角∠EAC=∠ABD，再加上一对直角相等，故有△ABD∽△ACE，利用相似比，可求出CE．（需在△ABD利用勾股定理求出AB的长即可）
本题利用了角的正切值的计算以及勾股定理，三角形相似的判定和性质．
几何综合题．
找相似题