试题

（2003·岳阳）如图：⊙O为△ABC的外接圆，∠C=60°，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠APC的平分线和AC、BC分别相交于D、E．
（1）证明：△CDE是等边三角形；
（2）证明：PD·DE=PE·AD；
（3）若PC=7，S_△PCE=

15 3

4

，求作以PE、DE的长为根的一元二次方程；
（4）试判断E点是否能成为PD的中点？若能，请说明必需满足的条件，同时给出证明；若不能，请说明理由．

（1）证明：连接OC．∵PC是圆的切线．
∴∠PCO=90°．
∵∧ACB=60°，⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴∠PCB=∠PCO-∠BCO=60°，
∴∠PCB=∠A=∠ACB=60°
∵∠CPD=∠APD
∴△CEP∽△ADP
∴∠CEP=∠ADP
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵∠C=60°
∴△CDE是等边三角形；

（2）证明：由（1）可知：△CEP∽△ADP
∴PD·CE=PE·AD
∵△CDE是等边三角形
∴CE=DE
∴PD·DE=PE·AD；

（3）解：∵S_△PCE=

1

2

PE·DE·sin60°=

3

4

·PE·DE=

15 3

4

，
∴PE·DE=15，
∵∠PCB=∠PDC=60°，∠CPD=∠EPC，
∴△CPD∽△EPC，
∴PC²=PE·PD=PE（PE+DE）=PE²+PE·DE=PE²+15=49，
∴PE=

34

，
∴DE=

15 34

34

，
PE+DE=

49 34

34

，
∴以PE，DE为根的一元二次方程应该是x²-

49 34

34

x+15=0，
即：34x²-49

34

x+510=0；

（4）解：当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
证明：∵PC是圆的切线，AC是直径
∴∠ACP=∠ABC=90°，∠PCE=∠A
∵∠ACB=∠DEC=60°
∴∠A=30°，∠PCE+∠EPC=60°
∵∠PCE=∠A
∴∠PCE=∠EPC=30°
∴CE=PE
∵△CDE是等边三角形
∴CE=PE=DE
即E是PD的中点．
（1）证明：连接OC．∵PC是圆的切线．
∴∠PCO=90°．
∵∧ACB=60°，⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴∠PCB=∠PCO-∠BCO=60°，
∴∠PCB=∠A=∠ACB=60°
∵∠CPD=∠APD
∴△CEP∽△ADP
∴∠CEP=∠ADP
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵∠C=60°
∴△CDE是等边三角形；

（2）证明：由（1）可知：△CEP∽△ADP
∴PD·CE=PE·AD
∵△CDE是等边三角形
∴CE=DE
∴PD·DE=PE·AD；

（3）解：∵S_△PCE=

1

2

PE·DE·sin60°=

3

4

·PE·DE=

15 3

4

，
∴PE·DE=15，
∵∠PCB=∠PDC=60°，∠CPD=∠EPC，
∴△CPD∽△EPC，
∴PC²=PE·PD=PE（PE+DE）=PE²+PE·DE=PE²+15=49，
∴PE=

34

，
∴DE=

15 34

34

，
PE+DE=

49 34

34

，
∴以PE，DE为根的一元二次方程应该是x²-

49 34

34

x+15=0，
即：34x²-49

34

x+510=0；

（4）解：当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
证明：∵PC是圆的切线，AC是直径
∴∠ACP=∠ABC=90°，∠PCE=∠A
∵∠ACB=∠DEC=60°
∴∠A=30°，∠PCE+∠EPC=60°
∵∠PCE=∠A
∴∠PCE=∠EPC=30°
∴CE=PE
∵△CDE是等边三角形
∴CE=PE=DE
即E是PD的中点．