题目:
(2004·佛山)如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h
a,EFGH是△ABC的内接正方形.设正方形EFGH的边长是x,求证:
x=;
(2)在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90度.请在图②,图③中分别画出可能的内接正方形,并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大;
(3)在锐角△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c.请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大?并说明理由.
答案
解:(1)∵HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴AM:AD=HG:BC,
∴(h
a-x):h
a=x:a,
a(h
a-x)=h
ax,
ah
a-ax=h
ax,
(a+h
a)x=ah
a,
∴
x=;
(2)根据(1)的结果,当图②的情况,BC=
=5,则AD=
,
此时正方形的边长是:
=
;
当图③时,正方形的边长是
=
,
故③的情况面积大.

(3)根据(1)的结果,设三角形的面积是S,则S=
ah
a,则x=
,
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时,a+h
a最小,则x最大,内接正方形的面积最大.
解:(1)∵HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴AM:AD=HG:BC,
∴(h
a-x):h
a=x:a,
a(h
a-x)=h
ax,
ah
a-ax=h
ax,
(a+h
a)x=ah
a,
∴
x=;
(2)根据(1)的结果,当图②的情况,BC=
=5,则AD=
,
此时正方形的边长是:
=
;
当图③时,正方形的边长是
=
,
故③的情况面积大.

(3)根据(1)的结果,设三角形的面积是S,则S=
ah
a,则x=
,
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时,a+h
a最小,则x最大,内接正方形的面积最大.