试题

题目:
(2004·佛山)如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=ha,EFGH是△ABC的内接正方形.设正方形EFGH的边长是x,求证:x=
aha
a+ha

(2)在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90度.请在图②,图③中分别画出可能的内接正方形,并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大;
(3)在锐角△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c.请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大?并说明理由.
青果学院
答案
解:(1)∵HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴AM:AD=HG:BC,
∴(ha-x):ha=x:a,
a(ha-x)=hax,
aha-ax=hax,
(a+ha)x=aha
x=
aha
a+ha


(2)根据(1)的结果,当图②的情况,BC=
AB2+AC2
=5,则AD=
12
5

此时正方形的边长是:
12
5
5+
12
5
=
60
37

当图③时,正方形的边长是
3×4
3+4
=
12
7

故③的情况面积大.
青果学院

(3)根据(1)的结果,设三角形的面积是S,则S=
1
2
aha,则x=
S
2(a+ha)

则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时,a+ha最小,则x最大,内接正方形的面积最大.
解:(1)∵HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴AM:AD=HG:BC,
∴(ha-x):ha=x:a,
a(ha-x)=hax,
aha-ax=hax,
(a+ha)x=aha
x=
aha
a+ha


(2)根据(1)的结果,当图②的情况,BC=
AB2+AC2
=5,则AD=
12
5

此时正方形的边长是:
12
5
5+
12
5
=
60
37

当图③时,正方形的边长是
3×4
3+4
=
12
7

故③的情况面积大.
青果学院

(3)根据(1)的结果,设三角形的面积是S,则S=
1
2
aha,则x=
S
2(a+ha)

则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时,a+ha最小,则x最大,内接正方形的面积最大.
考点梳理
正方形的性质;菱形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
(1)由HG∥BC,可得△AHG∽△ABC,再根据相似三角形对应高的比等于相似比,求出结果;
(2)问哪个内接正方形的面积最大,即看哪个内接正方形的边最长,由(1)可知结果;
(3)正方形的一边落在三角形的最短一边BC上的内接正方形的面积最大.
本题探讨合理利用三角形的边角余料,提高材料的利用率.
压轴题.
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