试题

（2004·佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．
（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h_a，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：x=

aha

a+ha

；
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．

解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（h_a-x）：h_a=x：a，
a（h_a-x）=h_ax，
ah_a-ax=h_ax，
（a+h_a）x=ah_a，
∴x=

aha

a+ha

；

（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC=

AB2+AC2

=5，则AD=

12

5

，
此时正方形的边长是：

5× 12 5

5+ 12 5

=

60

37

；
当图③时，正方形的边长是

3×4

3+4

=

12

7

，
故③的情况面积大．


（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=

1

2

ah_a，则x=

S

2(a+ha)

，
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+h_a最小，则x最大，内接正方形的面积最大．
解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（h_a-x）：h_a=x：a，
a（h_a-x）=h_ax，
ah_a-ax=h_ax，
（a+h_a）x=ah_a，
∴x=

aha

a+ha

；

（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC=

AB2+AC2

=5，则AD=

12

5

，
此时正方形的边长是：

5× 12 5

5+ 12 5

=

60

37

；
当图③时，正方形的边长是

3×4

3+4

=

12

7

，
故③的情况面积大．


（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=

1

2

ah_a，则x=

S

2(a+ha)

，
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+h_a最小，则x最大，内接正方形的面积最大．