试题

题目：
（2004·福州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；
（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．
青果学院
答案
青果学院解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、
Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）

（2）AF=
AB2+BF2
=5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=
5
，AE=
AD2+DE2
=2
5
，
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=
5
×2
5
，
∴EM=2，
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∴D1C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴
EN
EM
=
D1C1
AF

设正方形A1B1C1D1的边长为x，则
2-x
2
=
x
5

解得x=
10
7

∴正方形A1B1C1D1的边长为
10
7
．

（3）∵D1C1=
10
7
，EN=2-
10
7
=
4
7

∴S△D1EC1=
1
2
×
10
7
×
4
7
=
20
49

∴
C1B1
B1F
=
2
1
，C1B1=
10
7

∴B1F=
5
7

∴S△C1B1F1=
1
2
×
10
7
×
5
7
=
25
49

∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E1点在C1F1上
又∵S正方形A1B1 C1D1=（
10
7
）2=
100
49

∴S未被覆盖四边形=
100
49
-
25
49
-
20
49
=
55
49
．
青果学院解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、
Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）

（2）AF=
AB2+BF2
=5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=
5
，AE=
AD2+DE2
=2
5
，
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=
5
×2
5
，
∴EM=2，
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∴D1C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴
EN
EM
=
D1C1
AF

设正方形A1B1C1D1的边长为x，则
2-x
2
=
x
5

解得x=
10
7

∴正方形A1B1C1D1的边长为
10
7
．

（3）∵D1C1=
10
7
，EN=2-
10
7
=
4
7

∴S△D1EC1=
1
2
×
10
7
×
4
7
=
20
49

∴
C1B1
B1F
=
2
1
，C1B1=
10
7

∴B1F=
5
7

∴S△C1B1F1=
1
2
×
10
7
×
5
7
=
25
49

∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E1点在C1F1上
又∵S正方形A1B1 C1D1=（
10
7
）2=
100
49

∴S未被覆盖四边形=
100
49
-
25
49
-
20
49
=
55
49
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）图中满足直角边之比等于1：2的直角三角形共有6个，Rt△CEF与Rt△ADE比较明显，打开找出另外四个之一的“缺口”是证出∠AEF=90°．下面给出两种思路：思路一是先证出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，结合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，从而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分别使用勾股定理求出AE、EF和AF的长，再由勾股定理的逆定理证出∠AEF=90°；
（2）由EM×AF=AE×EF=2S△AEF可以求出EM=2，另外由△D1C1E∽△AFE得出
EN
EM
=
D1C1
AF
是利用了“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质，这也是解决形如图2问题的基本方法．该小题如果注意到△AA1D1与△C1B1F都是直角边之比等于1：2的直角三角形的话，不添辅助线也可得出答案：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AA1=2x，B1F=
1
2
x，因为AA1+A1B1+B1F=AF=5，所以2x+x+
1
2
x=5，解得正方形的边长x=
10
7
；
（3）如何说明△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠以后两个三角形的交界处既不重叠又没有空隙是一个难点，比较容易忽略，值得引起重视．下面给出一种另解供参考：由△E1C1D1、△C1B1F1分别由△EC1D1、△C1FB1折叠而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因为正方形A1B1C1D1中有∠D1C1B1=90°，所以∠4+∠1=180°-90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D1C1B1，从而C1E1与C1F1重合在一条直线上（或三点C1、E1、F1在一条直线上）．
本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
综合题；压轴题．
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