试题

题目：
青果学院（2004·四川）已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．
求证：（1）
AB
=
AF
；（2）AH·BC=2AB·BE．
答案
证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAD=∠ABE，
∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C=∠ABF，
∴
AB
=
AF
；

（2）∵∠C=∠ABF，
Rt△ABH∽Rt△ACB，
∴AH：BH=AB：BC，即AH·BC=AB·BH，
∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAH=∠AHB，
∴AE=EH=BE=
1
2
BH，
∴AH·BC=2AB·BE．
证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAD=∠ABE，
∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C=∠ABF，
∴
AB
=
AF
；

（2）∵∠C=∠ABF，
Rt△ABH∽Rt△ACB，
∴AH：BH=AB：BC，即AH·BC=AB·BH，
∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAH=∠AHB，
∴AE=EH=BE=
1
2
BH，
∴AH·BC=2AB·BE．
考点梳理
圆周角定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）等腰△ABE中，∠BAD=∠ABE；由同角的余角相等知，∠BAD=∠C，故有∠C=∠ABF．由圆周角定理知，
AB
=
AF
；
（2）由于∠EAH=∠AHB，可得出AE=EH=BE=
1
2
BH，易证得Rt△ABH∽Rt△ACB．则AH：AB=BH：BC，即AH·BC=2AB·BE．
本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．
证明题；压轴题．
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