试题

（2004·玉溪）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DC切⊙O于C点，∠CAD=30°，延长DC到点E，使∠CAE=∠CAD．
（1）试探求AD与⊙O的半径有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）求证：AC·CD=AE·OD．

（1）解：AD是⊙O半径的3倍．
证明：连接OC，
∵DE是切线
∴OC⊥DE
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA=30°
∴∠COD=∠CAO+∠OCA=60°
∴∠D=30°
∴OD=2OC
∴AD=3OC；

（2）证明：∵∠CAE=∠CAD=30°
∴∠EAD=60°=∠COD
∴OC∥AE
∴∠E=∠OCD=90°
又∠EAC=∠D=30°
∴△EAC∽△CDO
∴AE：CD=AC：OD
∴AC·CD=AE·OD．
（1）解：AD是⊙O半径的3倍．
证明：连接OC，
∵DE是切线
∴OC⊥DE
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA=30°
∴∠COD=∠CAO+∠OCA=60°
∴∠D=30°
∴OD=2OC
∴AD=3OC；

（2）证明：∵∠CAE=∠CAD=30°
∴∠EAD=60°=∠COD
∴OC∥AE
∴∠E=∠OCD=90°
又∠EAC=∠D=30°
∴△EAC∽△CDO
∴AE：CD=AC：OD
∴AC·CD=AE·OD．