试题

题目：
青果学院（1998·金华）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，D分别是AB，BC的中点，过E，D作⊙O，且与AB相切于E，⊙O与BC的延长线交于F，求⊙O的半径OE的长．
答案
解：如图，在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵E，D分别是AB，BC的中点，
∴BE=2.5，DE∥AC，
∴∠EDF=90°，
∴EF是圆的直径，即O在EF上，
∵过E，D作⊙O，且与AB相切于E，
∴∠ACB=∠BEF=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△FEB，
∴EF：AC=BE：BC，
∴EF=AC·BE÷BC=4×2.5÷3=
10
3
，
∴OE=
5
3
．
解：如图，在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵E，D分别是AB，BC的中点，
∴BE=2.5，DE∥AC，
∴∠EDF=90°，
∴EF是圆的直径，即O在EF上，
∵过E，D作⊙O，且与AB相切于E，
∴∠ACB=∠BEF=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△FEB，
∴EF：AC=BE：BC，
∴EF=AC·BE÷BC=4×2.5÷3=
10
3
，
∴OE=
5
3
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
如图，在△ABC中根据勾股定理可以求出AB=5，过E作⊙O，且与AB相切于E，切线的性质得出∠ACB=∠BEF=90°，证明△ACB∽△BEF，然后利用其对应边成比例即可求出EF，再就可以求出⊙O的半径OE的长．
此题综合考查勾股定理、圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识．有一定难度．
几何图形问题；数形结合．
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