答案
解:(1)相等.
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形,直线AC是它的公共对称轴,
∴△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°,∠EAF=60°,
∴∠BAE=15°,
∴AE=
,
同理,A′E′=
,
∴
=
,
∵所有的正方形都相似,所有的等边三角形也都相似,而相似三角形面积的比等于相似比的平方,
∴
=
()2,
=
()2,
∴
=
;
(2)由(1)知△ABE≌△ADF,
∴BE=DF,
∴CE=CF,
设正方形ABCD的边长是a,等边三角形AEF边长为x,
∵CE
2+CF
2=x
2,∴CE=
x,
∴BE=a-
x,
∵x
2=(a-
x )
2+a
2,
∴x
2+2
ax-4a
2=0,
舍去负根,得x=(
-
)a,
∴AE=(
-
)AB,
设正方形A′B′C′D′的边长是y,由于△A′B′E≌△D′C′F,
∴B′E=C′F=
(x-y),
在△A′B′E中,∠A′B′E=90°,∠B′A′E=30°,
∴B′E:A′B′=
(x-y):y=tan30°=
:3,
∴y=(2
-3)x,
∴A′B′=(2
-3)AE,
∴
=
=
=9
-5
,
∴
=(9
-5
)
2=312-180
.
解:(1)相等.
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形,直线AC是它的公共对称轴,
∴△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°,∠EAF=60°,
∴∠BAE=15°,
∴AE=
,
同理,A′E′=
,
∴
=
,
∵所有的正方形都相似,所有的等边三角形也都相似,而相似三角形面积的比等于相似比的平方,
∴
=
()2,
=
()2,
∴
=
;
(2)由(1)知△ABE≌△ADF,
∴BE=DF,
∴CE=CF,
设正方形ABCD的边长是a,等边三角形AEF边长为x,
∵CE
2+CF
2=x
2,∴CE=
x,
∴BE=a-
x,
∵x
2=(a-
x )
2+a
2,
∴x
2+2
ax-4a
2=0,
舍去负根,得x=(
-
)a,
∴AE=(
-
)AB,
设正方形A′B′C′D′的边长是y,由于△A′B′E≌△D′C′F,
∴B′E=C′F=
(x-y),
在△A′B′E中,∠A′B′E=90°,∠B′A′E=30°,
∴B′E:A′B′=
(x-y):y=tan30°=
:3,
∴y=(2
-3)x,
∴A′B′=(2
-3)AE,
∴
=
=
=9
-5
,
∴
=(9
-5
)
2=312-180
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