试题

题目:
(1998·温州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(点B在点A右侧),与y轴青果学院交于点C(0,2).
(1)请说明a、b、c的乘积是正数还是负数;
(2)若∠OCA=∠CBO,求这个二次函数的解析式.
答案
解:(1)由于抛物线过C(0,2),因此c=2>0.
根据图形有:
c
a
>0,-
b
2a
>0,
因此a>0,b<0.
∴abc<0,即a、b、c的乘积是负数.

(2)∵∠OCA=∠CBO,∠COA=∠BOC=90°,
∴△COA∽△BOC,
OA
OC
=
OC
OB

即OB=
OC2
OA
=
2×2
1
=4,
即B点坐标为(4,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4).由于抛物线过C点,
因此a(0-1)×(0-4)=2,a=
1
2

因此抛物线的解析式为y=
1
2
(x-1)(x-4).
解:(1)由于抛物线过C(0,2),因此c=2>0.
根据图形有:
c
a
>0,-
b
2a
>0,
因此a>0,b<0.
∴abc<0,即a、b、c的乘积是负数.

(2)∵∠OCA=∠CBO,∠COA=∠BOC=90°,
∴△COA∽△BOC,
OA
OC
=
OC
OB

即OB=
OC2
OA
=
2×2
1
=4,
即B点坐标为(4,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4).由于抛物线过C点,
因此a(0-1)×(0-4)=2,a=
1
2

因此抛物线的解析式为y=
1
2
(x-1)(x-4).
考点梳理
二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质.
(1)根据C点的坐标可知:c=2>0,A,B均在x轴正半轴上,因此抛物线与x轴两交点的积
c
a
>0,因此a>0,抛物线的对称轴-
b
2a
>0,因此b<0.可据此求出a,b,c的乘积的符号.
(2)若∠OCA=∠CBO,那么△COA∽△BOC,可据此求出OB的长,即可求出B点的坐标,进而可根据A,B,C三点的坐标求出抛物线的解析式.
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、韦达定理、二次函数的综合应用等知识点.
代数几何综合题.
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