试题

题目:
青果学院(1999·广州)如图,已知AB是⊙O的直径,点D在弦AC上,DE⊥AB于E.
求证:AD·AC=AE·AB.
答案
青果学院证明:连接BC,(2分)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,(4分)
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
又∵∠DAE=∠BAC,
∴△DAE∽△BAC,(8分)
AD
AB
=
AE
AC
,(9分)
∴AD·AC=AE·AB.(10分)
青果学院证明:连接BC,(2分)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,(4分)
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
又∵∠DAE=∠BAC,
∴△DAE∽△BAC,(8分)
AD
AB
=
AE
AC
,(9分)
∴AD·AC=AE·AB.(10分)
考点梳理
圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
先连接BC,构造相似三角形,△ADE和△ABC,由AB是直径,可得∠ACB=90°,而DE⊥AB,∠AED=90°,再加上一个公共角,那么两组对应角相等,两三角形相似.再有相似三角形的性质可得比例线段,从而得证.
本题利用了直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质等知识.
证明题.
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