试题

题目:
青果学院(1999·杭州)如图,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N,与BC边的延长线相交于点P,求证:OA2=ON·OP.
答案
青果学院证明:连接OB;
∵PM垂直平分AB,
∴OA=OB,AM=BM,OM⊥AB;
∴∠AOM=∠BOM=
1
2
∠AOB;
∵∠ACB=
1
2
∠AOB,∴∠ACB=∠AOM;
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC;
∵∠PNC=∠ANO,∴∠P=∠NAO;
∵∠AOM=∠MOB,
∴∠AON=∠BOP;
∴△ANO∽△PBO,
ON
OB
=
OA
OP
,即OA·OB=OP·ON;
∵OA=OB,
∴OA2=ON·OP.
青果学院证明:连接OB;
∵PM垂直平分AB,
∴OA=OB,AM=BM,OM⊥AB;
∴∠AOM=∠BOM=
1
2
∠AOB;
∵∠ACB=
1
2
∠AOB,∴∠ACB=∠AOM;
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC;
∵∠PNC=∠ANO,∴∠P=∠NAO;
∵∠AOM=∠MOB,
∴∠AON=∠BOP;
∴△ANO∽△PBO,
ON
OB
=
OA
OP
,即OA·OB=OP·ON;
∵OA=OB,
∴OA2=ON·OP.
考点梳理
线段垂直平分线的性质;三角形的外接圆与外心;相似三角形的判定与性质.
连接OB,所求的乘积式可化为:OA·OB=ON·OP;将上式化为比例式,然后证线段所在的三角形相似,即证△OAN∽△OPB.
此题主要考查的是相似三角形的判定和性质,涉及到的知识点有:线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等,综合性强,难度偏大.
证明题;压轴题.
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