试题
题目:
(1999·河南)如图,已知在△ABC中,∠B=90°.O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的半圆与AB交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1.求证:S
△AOD
、S
△BCD
是方程10x
2
-51x+54=0的两个根.
答案
证明:∵AD是切线,
∴AD
2
=AE·AB.
由AD=2,AE=1,得AB=4.
从而OD=
3
2
.
∵∠ABC=90°,
∴AC
2
=BC
2
+AB
2
,且BC是⊙O的切线.
∵CD是⊙O的切线,
∴BC=CD.
∴(2+BC)
2
=BC
2
+4
2
,
解得BC=3.
∵OD⊥AD,
∴S
△AOD
=
1
2
AD·OD=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
.
作BH⊥AC于H,则Rt△AOD∽Rt△ABH.
∴
OD
BH
=
AO
AB
,
即
3
2
BH
=
1+
3
2
4
,
∴
BH=
12
5
.
∴S
△BCD
=
CD·BH=
1
2
×3×
12
5
=
18
5
.
而S
△AOD
+S
△BCD
=
3
2
+
18
5
=
51
10
,
S
△AOD
·S
△BCD
=
3
2
×
18
5
=
54
10
,
∴S
△AOD
、S
△BCD
是方程10x
2
-51x+54=0的两个根.
证明:∵AD是切线,
∴AD
2
=AE·AB.
由AD=2,AE=1,得AB=4.
从而OD=
3
2
.
∵∠ABC=90°,
∴AC
2
=BC
2
+AB
2
,且BC是⊙O的切线.
∵CD是⊙O的切线,
∴BC=CD.
∴(2+BC)
2
=BC
2
+4
2
,
解得BC=3.
∵OD⊥AD,
∴S
△AOD
=
1
2
AD·OD=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
.
作BH⊥AC于H,则Rt△AOD∽Rt△ABH.
∴
OD
BH
=
AO
AB
,
即
3
2
BH
=
1+
3
2
4
,
∴
BH=
12
5
.
∴S
△BCD
=
CD·BH=
1
2
×3×
12
5
=
18
5
.
而S
△AOD
+S
△BCD
=
3
2
+
18
5
=
51
10
,
S
△AOD
·S
△BCD
=
3
2
×
18
5
=
54
10
,
∴S
△AOD
、S
△BCD
是方程10x
2
-51x+54=0的两个根.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
切割线定理;根与系数的关系;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
此题要证明S
△AOD
、S
△BCD
是方程10x
2
-51x+54=0的两个根,首先需求得两个三角形的面积,再进一步根据根与系数的关系进行证明.根据切割线定理,即可求得AB的长,从而求得圆的半径,则可以求得三角形AOD的面积;根据勾股定理求得CD的长,再根据相似三角形的性质即可求得BH的长,从而求得三角形BCD的面积.
此题综合运用了切割线定理、切线长定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系.
证明题;代数几何综合题;压轴题.
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