切线的性质;解一元二次方程-直接开平方法;根据实际问题列二次函数关系式;平行线的判定;直角三角形全等的判定;等腰三角形的判定;弦切角定理;切割线定理;相似三角形的判定与性质.
(1)由于AD是⊙O的切线,并且已知AE、BE的长,即可由切割线定理求得AD的长.
(2)①欲证所求的比例式,只需证得DE∥FH即可.连接BD,设BD与FH的交点为G,由于HD切⊙O于D,根据弦切角定理知∠HDB=∠DEB,在Rt△DEB中,易证得∠DEB=∠FDB,则∠FDB=∠HDB,即可证得△DFB≌△DHB,由此可得BH=BF,即△BFH是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质可证得BD⊥FH,而BD⊥DE,则FH∥DE,由此得证.
②由于BH=BF,根据EB的长,可用y表示出EF的值,进而在Rt△DEB中,根据射影定理得到y、x的函数关系式;求x的取值范围时,只需考虑x的最大值即可,当A、P重合时,若连接OD,则OD⊥PH,根据平行线分线段成比例定理,可求得BH的长,进而可得到BF、EF的值,然后根据射影定理即可求得DE的长,由此求得x的取值范围.
此题主要考查了切线的性质、弦切角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识;(2)①中,能够构造出与所求相关的全等三角形是解决问题的关键.
代数几何综合题;压轴题.