切割线定理;三角形中位线定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.
(1)由于D是弧BC的中点,利用垂径定理的推论,可证OD⊥BC,而AC⊥BC,故OD∥AC,又O是AB中点,利用平行线分线段成比例定理的推论,可得BE:CE=OB:OA,从而可知E是BC中点,即OE是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理可证OE=
AC;
(2)利用两组角对应相等,易证△PCD∽△PAC,那么可得2组有关比例线段,利用等式性质可证;
(3)由AC=6,AB=10,利用勾股定理可求BC,进而求出BE、OE、DE,再利用勾股定理可求BD
2、AD
2,从而解出AD、BD、CD,结合(2)中的结论,利用比例性质,可求出DP、AP,那么可求CP
2,从而求出CP.
本题利用了垂径定理的推论、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、等式的性质、勾股定理、比例的性质、切割线定理等知识.
几何综合题;压轴题.