试题

题目：
青果学院（1999·天津）如图，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点，若AC=PC．
求证：（1）BD=2BP；（2）PC=3BP．
答案
青果学院证明：（1）连接OD，
∵D、C是切点，PC是直径，OD是半径，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，（1分）
∴
BD
BC
=
OD
AC
，
∵AC=PC=2OD，
∴BD=
1
2
BC．①（2分）
又BD2=BP·BC，②（3分）
②÷①，得BD=2BP．（4分）

（2）由BD2=BP·BC，
又∵BC=BP+PC，BD=2BP，
∴4BP2=BP（BP+PC），（5分）
∴4BP=BP+PC，
∴PC=3BP．（6分）
青果学院证明：（1）连接OD，
∵D、C是切点，PC是直径，OD是半径，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，（1分）
∴
BD
BC
=
OD
AC
，
∵AC=PC=2OD，
∴BD=
1
2
BC．①（2分）
又BD2=BP·BC，②（3分）
②÷①，得BD=2BP．（4分）

（2）由BD2=BP·BC，
又∵BC=BP+PC，BD=2BP，
∴4BP2=BP（BP+PC），（5分）
∴4BP=BP+PC，
∴PC=3BP．（6分）
考点梳理
切割线定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OD，由于AB、AC都是切线，那么有∠BD=∠ACB=90°，而∠B=∠B，所以△BDO∽△BCA，再利用相似比，结合AC=PC=2OD，可得BD=
1
2
BC①，而BD2=BP·BC②，②÷①即可求；
（2）由于BC=BP+PC，BD=2BP，BD2=BP·BC，所以有4BP2=BP（BP+PC），等式左右同除以BP，化简后即可求证．
本题利用了相似三角形的判定和性质、等式的性质、切割线定理等知识．
证明题；压轴题．
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