试题

（2000·甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x²-2x-3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．
（1）求点M和N的坐标；
（2）求系数a的取值范围；
（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得S△MPN=2

3

？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（-1，0），N（3，0）

（2）抛物线与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，则y=a（x²-2x-3）
抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是-

3

3

≤a＜0；

（3）当y取最大值时，a=-

3

3

，因此抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
设P点的坐标为（0，h），则有：
S_△MPN=

1

2

·MN·|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
当h=

3

时，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
当h=-

3

时，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P点的坐标为（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．
解：（1）由题意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（-1，0），N（3，0）

（2）抛物线与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，则y=a（x²-2x-3）
抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是-

3

3

≤a＜0；

（3）当y取最大值时，a=-

3

3

，因此抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
设P点的坐标为（0，h），则有：
S_△MPN=

1

2

·MN·|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
当h=

3

时，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
当h=-

3

时，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P点的坐标为（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．