试题

题目:
青果学院(2000·海南)如图,CB是半圆的直径,AC与半圆相切于C点,AB与半圆相交于D点,在AC上任取一点E,连接BE交半圆于F点.求证:AB·BD=EB·BF.
答案
青果学院证明:证法一:连接CD、CF;
∵BC是直径,
∴∠CDB=90°,∠CFB=90°;(4分)
又∵AC与圆相切于C点,CB是圆的直径,
∴∠ACB=90°;(5分)
在Rt△ABC中,BC2=BD·BA,在Rt△EBC中,BC2=BF·BE;(7分)
∴BD·BA=BF·BE,即AB·BD=EB·BF.(8分)

证法二:连接CD、DF;(1分)
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF,(2分)
又∵AC切⊙O于C,CB是半圆O的直径,青果学院
∴∠ACB=∠BDC=90°;(3分)
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF;(4分)
又∵∠DBF=∠EBA(同角)(5分)
∴△DBF∽△EBA,(6分)
∴BD:EB=BF:AB,(7分)
∴AB·BD=EB·BF.(8分)
青果学院证明:证法一:连接CD、CF;
∵BC是直径,
∴∠CDB=90°,∠CFB=90°;(4分)
又∵AC与圆相切于C点,CB是圆的直径,
∴∠ACB=90°;(5分)
在Rt△ABC中,BC2=BD·BA,在Rt△EBC中,BC2=BF·BE;(7分)
∴BD·BA=BF·BE,即AB·BD=EB·BF.(8分)

证法二:连接CD、DF;(1分)
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF,(2分)
又∵AC切⊙O于C,CB是半圆O的直径,青果学院
∴∠ACB=∠BDC=90°;(3分)
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF;(4分)
又∵∠DBF=∠EBA(同角)(5分)
∴△DBF∽△EBA,(6分)
∴BD:EB=BF:AB,(7分)
∴AB·BD=EB·BF.(8分)
考点梳理
圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.
本题解法较多,提供两种作为参考;
(1)连接CD、CF;由圆周角定理,易知CF⊥BE,CD⊥AB;在Rt△CBE、Rt△CBA中,由射影定理可知:AB·BD及BE·BF正好都等于BC2,由此得解.
(2)将所求的乘积式化为比例式,然后证线段所在的三角形相似,即连接DF、CD,证△BDF∽△BEA.
此题主要考查的是圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质.
证明题;压轴题.
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