答案

证明:证法一:连接CD、CF;
∵BC是直径,
∴∠CDB=90°,∠CFB=90°;(4分)
又∵AC与圆相切于C点,CB是圆的直径,
∴∠ACB=90°;(5分)
在Rt△ABC中,BC
2=BD·BA,在Rt△EBC中,BC
2=BF·BE;(7分)
∴BD·BA=BF·BE,即AB·BD=EB·BF.(8分)
证法二:连接CD、DF;(1分)
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF,(2分)
又∵AC切⊙O于C,CB是半圆O的直径,

∴∠ACB=∠BDC=90°;(3分)
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF;(4分)
又∵∠DBF=∠EBA(同角)(5分)
∴△DBF∽△EBA,(6分)
∴BD:EB=BF:AB,(7分)
∴AB·BD=EB·BF.(8分)

证明:证法一:连接CD、CF;
∵BC是直径,
∴∠CDB=90°,∠CFB=90°;(4分)
又∵AC与圆相切于C点,CB是圆的直径,
∴∠ACB=90°;(5分)
在Rt△ABC中,BC
2=BD·BA,在Rt△EBC中,BC
2=BF·BE;(7分)
∴BD·BA=BF·BE,即AB·BD=EB·BF.(8分)
证法二:连接CD、DF;(1分)
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF,(2分)
又∵AC切⊙O于C,CB是半圆O的直径,

∴∠ACB=∠BDC=90°;(3分)
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF;(4分)
又∵∠DBF=∠EBA(同角)(5分)
∴△DBF∽△EBA,(6分)
∴BD:EB=BF:AB,(7分)
∴AB·BD=EB·BF.(8分)