试题

题目:
(2000·江西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以C为圆心、CA的长为半径的圆分别交AB、CB于E、M,AC的延长线交青果学院⊙C于D,连接DE交CB于N,连接BD.求证:
(1)△ABD是等腰三角形;
(2)CM2=CN·CB.
答案
证明:(1)∵CB⊥AD,DC=AC,
∴BD=BA,即△ABD是等腰三角形;(3分)

(2)∵AD是⊙C的直径,(4分)
∴∠DEA=90°.
∴∠EDA=90°-∠A=∠CBA;(7分)
∴Rt△DNC∽Rt△BAC,∴
DC
BC
=
NC
AC
;(8分)
又∵AC=DC=CM,∴CM2=CN·CB.(9分)
证明:(1)∵CB⊥AD,DC=AC,
∴BD=BA,即△ABD是等腰三角形;(3分)

(2)∵AD是⊙C的直径,(4分)
∴∠DEA=90°.
∴∠EDA=90°-∠A=∠CBA;(7分)
∴Rt△DNC∽Rt△BAC,∴
DC
BC
=
NC
AC
;(8分)
又∵AC=DC=CM,∴CM2=CN·CB.(9分)
考点梳理
等腰三角形的判定;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
(1)△ABD中,BC垂直平分AD,根据线段垂直平分线的性质即可得到AB=BD的结论;
(2)由于AC=CD=CM,那么所求的乘积式可化为:AC·CD=CN·CB,然后将此式化为比例式,证这些线段所在的三角形相似即可,即证Rt△DNC∽Rt△BAC.
此题主要考查的是等腰三角形的判定、圆周角定理及相似三角形的判定和性质.
证明题.
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