试题

题目：
（2000·内蒙古）已知：P为⊙O外一点，PQ切⊙O于Q，PAB、PCD是⊙O的割线，且∠PAC=∠BAD．求证：PQ2-PA2=AC·AD．
答案
青果学院证明：如图，∵PQ为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线，
由切割线定理，得PQ2=PA·PB，
∴PQ2-PA2=PA·PB-PA2=PA（PB-PA）=PA·AB，
由圆内接四边形的性质，得∠PCA=∠B，又∠PAC=∠BAD，
∴△PAC∽△DAB，
∴
PA
AD
=
AC
AB
，
即PA·AB=AC·AD，
∴PQ2-PA2=AC·AD．
青果学院证明：如图，∵PQ为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线，
由切割线定理，得PQ2=PA·PB，
∴PQ2-PA2=PA·PB-PA2=PA（PB-PA）=PA·AB，
由圆内接四边形的性质，得∠PCA=∠B，又∠PAC=∠BAD，
∴△PAC∽△DAB，
∴
PA
AD
=
AC
AB
，
即PA·AB=AC·AD，
∴PQ2-PA2=AC·AD．
考点梳理
切割线定理；相似三角形的判定与性质．
由切割线定理得PQ2=PA·PB，可将PQ2-PA2变形为PA·AB，根据圆内接四边形的性质得∠PCA=∠B，已知∠PAC=∠BAD，可证△PAC∽△DAB，得
PA
AD
=
AC
AB
，即PA·AB=AC·AD，证明结论．
本题考查了切割线定理、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质的运用．关键是根据题意，找到证题的突破口．
证明题．
找相似题