试题

题目：
青果学院（1997·天津）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于D，交△ABC的外接圆于点E．
求证：（1）IE=BE；
      （2）IE是AE和DE的比例中项．
答案
青果学院证明：（1）连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．

（2）根据（1）可得：
∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BED，
∴
AE
BE
=
BE
DE
，
∵BE=IE，
∴
AE
IE
=
IE
DE
，
∴IE是AE和DE的比例中项．
青果学院证明：（1）连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．

（2）根据（1）可得：
∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BED，
∴
AE
BE
=
BE
DE
，
∵BE=IE，
∴
AE
IE
=
IE
DE
，
∴IE是AE和DE的比例中项．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．
（1）连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据∠BIE=∠2+∠3，∠IBE=∠5+∠4，而∠5=∠1=∠2，得出∠BIE=∠IBE，即可证出IE=BE．
（2）根据（1）可得∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，则△AEB∽△BED，
AE
BE
=
BE
DE
，再根据BE=IE，可得出
AE
IE
=
IE
DE
，即可证出IE是AE和DE的比例中项．
此题考查了三角形的内切圆与内心，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、三角形的内心，关键是做出辅助线、证出三角形相似．
证明题；压轴题．
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