试题

题目：
青果学院（1998·广东）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，D是弧AC上任一点，过C作CE∥DA交⊙O于点E，BE、DA的延长线相交于点F，连接BD交AC于点G．
求证：
（1）△BDF是正三角形；
（2）BC2=BG·BF．
答案
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC与∠BEC都对
BC
，∠ACB与∠D都对
AB
，
∴∠BAC=∠BEC=∠ACB=∠D=60°，
∵CE∥DA，
∴∠F=∠BEC=∠D=60°，
∴△BDF为等边三角形；

（2）∵∠BAG=∠D=60°，∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴
AB
DB
=
BG
BA
，即AB2=BG·BD，
∵BC=AB，BF=BD，
∴BC2=BG·BF．
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC与∠BEC都对
BC
，∠ACB与∠D都对
AB
，
∴∠BAC=∠BEC=∠ACB=∠D=60°，
∵CE∥DA，
∴∠F=∠BEC=∠D=60°，
∴△BDF为等边三角形；

（2）∵∠BAG=∠D=60°，∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴
AB
DB
=
BG
BA
，即AB2=BG·BD，
∵BC=AB，BF=BD，
∴BC2=BG·BF．
考点梳理
圆周角定理；等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到内角为60度，再利用同号所对的圆周角相等及两直线平行同位角相等得到三角形BFD中两个角为60度，即可判定出三角形BDF为等边三角形；
（2）由两对角相等的两三角形相似得到三角形ABG与三角形ABD相似，由相似得比例，等量代换即可得证．
此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
计算题；压轴题．
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